2023年重庆高职分类理科数学模拟试题（一）【含答案】

车型  

报废年限（年）  

合计  

成本  
1   2   3   4  
A   10   30   40   20   100   1000元/辆  
B   15   40   35   10   100   800元/辆  

平均每辆车每年可为公司带来500元收入.不考虑采购成本之外的其他成本，设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作概率，以每辆车产生利润的期望值为决策依据，应选择采购哪款车型？

参考数据：.

参考公式：相关系数；

回归直线方程，其中，

20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

已知椭圆的左、右焦点为，椭圆的离心率为，是经过的长度最短的弦，的面积为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设为椭圆的右顶点，动直线交椭圆于两不同点，满足的点在直线上，若，求直线的方程.

21.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

已知是定义域为的函数，是的导函数，，.

（Ⅰ）设，，求函数的最值；

（Ⅱ）对于在中的任意一个常数，是否存在正实数，使得？请说明理由.

请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22.（本小题满分10分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问6分）选修4—4坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为,其中.

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）若与交于不同两点,，且，求的最大值.

23.（本小题满分10分，（1）小问5分，（Ⅱ）小问5分）选修4—5不等式选讲

设函数.

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）若，证明：

2020年重庆高职分类理科数学模拟试题（一）参考答案

17.（1）

当时，，

当时，，

又为等比数列，，，

，

（2）

18.（1）取中点，连结，.

，，为等边三角形，

平面，又平面，

为菱形，∥，.

（2），，又，，，

，，，即两两垂直，

以为轴正方向，建立空间直角坐标系如图所示，

则，

设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，

同理，即，可取，

则，

易知二面角为钝角，故二面角的余弦值为.

19.解：（1），

，

所以两变量之间具有较强的线性相关性，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系.

，

，     .

（2）用频率估计概率，款快递车的利润的分布列为：

（元）

款快递车的利润的分不列为：

（元）

，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，故应选择款车型.

20.解：（1）由题意，解得，即椭圆.

（2）由（1）知点

①当与轴垂直时，由中点在上知，直线与轴重合，即

，故不成立

②当不与轴垂直时，设，则中点，

，

，故设直线的方程为，

联立和椭圆，，

由韦达定理得

，即，

或（舍）             

方程为.

21.（1）设（为常数），则，

，，

令，得，在递增，在递减，

又，，

即，；

（2）对于，假设存在正数，使得成立，

即，；

要存在正数使得上式成立，只需要上式最小值小于0即可.

令，则；

令，得；令，得

在递减，在递增，

为函数的极小值点，亦即最小值点，

即

令，则，

在是增函数，

存在正数，使得成立.

22.（1）由消去参数得的普通方程为，

即，将代入，

得的极坐标方程为：.

（2）依题意将代入，

得

令，得，

由已知，解得，

设,，，则

则，

所以

则当时，即时，的最大值为.

23.（1），即，

当时，，得，无解；

当时，，得，；

当时，，得，

综上，不等式的解集是

（2），有绝对值不等式得

（当时取等号）

又，由均值不等式得，（当仅当时取等号）

所以，即，

所以成立